En un concurso te ofrecen escoger entre dos cajas: la 1 y la 2.
El presentador te dice que en una caja hay una determinada cantidad de dinero y en la otra hay el doble.
Te dejan elegir una caja al azar - por ejemplo escoges la n1 º - y la puedes abrir: Hay 1.000 euros.
Ahora el presentador te pregunta "¿Quieres cambiar?"
Analizas tus opciones:
1) Si cambio puedo obtener 500 euros (la mitad) o 2.000 euros (el doble).
2) La esperanza matemática, por tanto, es: (500+2000)/2 = 1.250 euros.
3) Luego, me interesa cambiar...
Un momento, es el mismo razonamiento que haríamos si hubiésemos escogido inicialmente la nº 2, por lo que es absurdo que obtengamos la misma ganancia por cambiar de 1 a 2, que de 2 a 1...
No sé. Estoy hecho un lío.
Solución
El razonamiento propuesto es una trampa. Puesto que no hay ningún motivo para suponer que cuando encuentro una cantidad x - en este caso 1.000 euros - en una de las cajas la probabilidad de que la otra caja tenga el doble o la mitad es la misma. Sólo porque no tenga suficiente información sobre la forma en que se han repartido las cajas no puedo deducir que la probabilidad sea la misma.
Si uno quiere hacer un razonamiento correcto usando la teoría de probabilidades, debe al menos suponer inicialmente que las cajas se reparten siguiendo alguna distribución de probabilidad, y a partir de eso calcular la probabilidad de que una caja tenga 2x (2.000 euros) si la otra tiene x (1.000 euros).
Si uno hace esto, ocurre que no existe ninguna distribución de probabilidad tal que, sabiendo que una caja tiene una cantidad x, la probabilidad de que la otra tenga x/2 o 2x sea siempre 1/2. Nadie dice que el dinero se vaya a repartir de este modo, al estar las cifras - premios - repartidos desde el principio.
Tal vez parte de la confusión de la paradoja está en que la probabilidad de elegir la caja que tiene menos dinero es efectivamente 1/2, al igual que la probabilidad de elegir la que tiene más dinero, al menos si el concursante elige al azar sin nada que distinga una caja de otra.
Por tanto, cuando abrimos una caja y encontramos un premio de 1.000 euros, y no nos dan más información, no va a ser posible suponer ninguna distribución de probabilidades sobre la otra caja: que haya 500 euros o 2.000.
Es decir sólo si nos dicen que el montante de las dos cajas es de 1.500 (1.000 + 500) o 3.000 (1.000 + 2.000) podremos calcular en este caso con un 100 % de certeza el importe de la otra caja.
En caso contrario conocer el premio de una caja no puede alterar nuestra decisión y la probabilidad de acabar en el premio grande o pequeño es – exactamente – del 50%.
El presentador te dice que en una caja hay una determinada cantidad de dinero y en la otra hay el doble.
Te dejan elegir una caja al azar - por ejemplo escoges la n1 º - y la puedes abrir: Hay 1.000 euros.
Ahora el presentador te pregunta "¿Quieres cambiar?"
Analizas tus opciones:
1) Si cambio puedo obtener 500 euros (la mitad) o 2.000 euros (el doble).
2) La esperanza matemática, por tanto, es: (500+2000)/2 = 1.250 euros.
3) Luego, me interesa cambiar...
Un momento, es el mismo razonamiento que haríamos si hubiésemos escogido inicialmente la nº 2, por lo que es absurdo que obtengamos la misma ganancia por cambiar de 1 a 2, que de 2 a 1...
No sé. Estoy hecho un lío.
Solución
El razonamiento propuesto es una trampa. Puesto que no hay ningún motivo para suponer que cuando encuentro una cantidad x - en este caso 1.000 euros - en una de las cajas la probabilidad de que la otra caja tenga el doble o la mitad es la misma. Sólo porque no tenga suficiente información sobre la forma en que se han repartido las cajas no puedo deducir que la probabilidad sea la misma.
Si uno quiere hacer un razonamiento correcto usando la teoría de probabilidades, debe al menos suponer inicialmente que las cajas se reparten siguiendo alguna distribución de probabilidad, y a partir de eso calcular la probabilidad de que una caja tenga 2x (2.000 euros) si la otra tiene x (1.000 euros).
Si uno hace esto, ocurre que no existe ninguna distribución de probabilidad tal que, sabiendo que una caja tiene una cantidad x, la probabilidad de que la otra tenga x/2 o 2x sea siempre 1/2. Nadie dice que el dinero se vaya a repartir de este modo, al estar las cifras - premios - repartidos desde el principio.
Tal vez parte de la confusión de la paradoja está en que la probabilidad de elegir la caja que tiene menos dinero es efectivamente 1/2, al igual que la probabilidad de elegir la que tiene más dinero, al menos si el concursante elige al azar sin nada que distinga una caja de otra.
Por tanto, cuando abrimos una caja y encontramos un premio de 1.000 euros, y no nos dan más información, no va a ser posible suponer ninguna distribución de probabilidades sobre la otra caja: que haya 500 euros o 2.000.
Es decir sólo si nos dicen que el montante de las dos cajas es de 1.500 (1.000 + 500) o 3.000 (1.000 + 2.000) podremos calcular en este caso con un 100 % de certeza el importe de la otra caja.
En caso contrario conocer el premio de una caja no puede alterar nuestra decisión y la probabilidad de acabar en el premio grande o pequeño es – exactamente – del 50%.
